今天在图书馆，无意中发现《数学家的眼光》这本书。随便翻了翻，看到一个有趣的定理——蝴蝶定理。
如下图，设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则有MH=MG
这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理。
蝴蝶定理的第一个证法是1815年由数学家奥纳完成的。100多年来，人们不断地提供多种多样的证明。这里写一个最简单的，不用连辅助线。
由于任意△ABC的面积都等于a*c*sinB，而圆中到处都是相等的角，可以考虑用这个思路。
看图，可知:
S△ FID / S△ GDJ=FI·FD / GD ·GJ
S△GDJ / S△HDI =GD·DJ / HD ·DI
S△IDH / S△JDE =HI·HD / ED· EJ
S△EDJ / S△ FDI=ED·EJ / FI ·FD
从这一大堆的比例式中可以看出什么呢？
把四个式子左右两边各自相乘，经过了各种化简, 得到这个式子：
1= FI·IH·DJ2/ GJ·JE·ID2
也就是说 FI·IH / GJ·JE = DJ2/ ID2
用相交弦定理可知FI·IH = CI·IB = (DC – DI)(DB + DI) , 右半边翅膀同理。
代入得(DC – DI)(DB + DI) / ID2 = (DB – DJ)(DC + DJ) / DJ2
因为D是中点 , DC = DB , 我们可知
DC2/DI2-1=DC2/DJ2-1
DI = DJ.
这是众多方法中较简单的一个，不必连辅助线。若是想看更复杂的方法，猛击这里会看到19种。
Post a Comment